《大学物理（下）》笔记

振动

基础公式

\[ \begin{align} x&=A\cdot \cos(\omega t+\phi)\\ v&=-A\omega\cdot\sin(\omega t+\phi)\\ a&=-A\omega^2\cdot\cos(\omega t+\phi)=-\omega^2x \end{align} \]

简谐振动的特征量

圆频率 \(\omega\)，周期 \(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，频率 \(v=\frac1T\)

对于弹簧振子，有 \(T=2\pi\sqrt\frac{m}{k}\)；对于单摆，有 \(T=2\pi\sqrt\frac{l}{g}\)

振幅 \(A=\sqrt{x_0^2+(\frac{v_0}{\omega})^2}\)

初相位 \(\omega=\arctan(-\frac{v_0}{\omega x_0})\)

简谐运动的判断

回复力与位移成正比，且指向平衡位置：\(F=-kx\Rightarrow ma=-kx\Rightarrow a=-\frac{k}{m}x\)。所以，\(k=m\omega^2\)。

振动方程可化为 \(m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-kx\) 或 \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+\omega^2x=0\)

对于单摆，\(-gml\theta=ml^2\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}\)

简谐运动的能量

\[ \begin{align} E_k&=\frac12mv^2=\frac12mA^2\omega^2\sin^2(\omega t+\phi)\\ E_p&=\frac12kx^2=\frac12m\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\phi)\\ E&=E_k+E_p=\frac12m\omega^2A^2 \end{align} \]

简谐运动的合成

只能合成同周期的几个简谐振动。

使用旋转矢量法，画两个同心圆。

波动

基础变量

波速 \(u\)：振动状态（波）的传播速度，不是质元运动速度。

周期 \(T\)：一个完整波通过波线上某点所需的时间，频率 \(\nu=\frac1T\)，角频率 \(\omega=2\pi\nu\)。这里周期、频率和

波长 \(\lambda\)：波线上相邻的振动状态相同的两质元之间的距离，

\(u=\lambda f=\lambda\frac1T\Rightarrow \lambda=uT\)

波函数

\[ \begin{align} y&=A \cos \left[\omega\left(t \mp \frac{x}{u}\right)+\varphi_0\right]\\ &\text { 或 } \\ y&=A \cos \left(\omega t \mp \frac{2 \pi}{\lambda} x+\varphi_0\right) \end{align} \]

其中，\(x\) 表示的是位置，而 \(y\) 才是振幅。

正向传播取负号，负向传播取正号。

可以发现，其相较于振动方程，就给 \(t\) 多减去了一项 \(\frac{x}{u}\)，可以理解为距离原点 \(x\) 处会有 \(t'=x/u\) 的“领先”。

如何求波函数

先写出任意一个质点 \((x=d)\) 的振动方程（当然最好是取原点处的）：

\(y=A\cos(\omega t+\varphi_0)\)

而波每传播 \(\lambda\)，相位就落后 \(2\pi\)，所以要进行调整：

\(y=A\cos[][\omega t+\varphi_0\mp\frac{2\pi}\lambda(x-d)]\)

波的能量

和振动不一样，质元的能量密度时刻刻保持着动能和势能相等，但是总能量随着时间而变化。

在最大位移处，能量密度为0（想象一根绳子，最高峰处拉伸最小）；平衡位置处能量密度最大。

一个周期内平均能量密度为 \(\overline W=\frac12\rho\omega^2A^2\)

平均能流：单位时间内，通过垂直于波传播方向的面积 \(\Delta S\) 的能量，类似于功率？

\(\overline P=\frac12\Delta S \omega^2A^2u=\overline W u\Delta S\)

平均能流密度/波的强度：单位面积的平均能流，也就是除去 \(\Delta S\)

\(I=\overline W u\)

波的叠加

两个波相遇，相遇的地方叠加（合成），但是相遇前后还是保持着原来的性质。

波的干涉

波在叠加时。在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布，叫做波的干涉。

要求：频率相同，振动方向相同，相位差固定。

两列波的波程差为 \(r_2-r_1\) ，相位差为 \(\varphi_2-\varphi_1-2 \pi \frac{r_2-r_1}{\lambda}\)

相位差等于 \(\pi\) 的偶数倍时为加强点，奇数倍时为减弱点。

波动光学

基础知识

可见光的范围

\(\lambda=400 \sim 760nm,\nu=7.5\times 10^{14}\sim 4.3\times 10^{14}Hz\)

光矢量

光是矢量，用 \(\vec E\)表示

真空中的光速

\(\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{\lambda}{c}}=\frac{c}{\lambda}\)

即 \(u=c=\lambda \nu\)

介质中的光速

光速 \(u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\lambda_n\nu\)

抓住频率不变，波长和波速会变化。

介质的折射率

折射率 \(n=\frac{c}{u}=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}\)

折射率是真空光速与当前介质中的光速之比。

可见光的空气折射率为 \(1.0\)，其他非气体透明介质的折射率均大于 \(1\)，并且随频率变化。

介质中的波长

\(\lambda_n=\frac{u}{\nu}=\frac{\lambda}{n}\)

介质中的波长可以用波速除以频率来计算，也可以用真空中的波长除以折射率。

相干光

条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定。

两种产生相干光的方法：振幅分割法，波阵面分割法。

双缝干涉

两个缝之间的距离为 \(d\)，光缝与照射面之间的距离为 \(d'\)，且默认 \(d'>>d\)。

由于照射面上的不同位置距离两条缝有微小的距离差，也就是波程差

波程差 \(\Delta r=r_2-r_1\approx d\sin \theta=d\frac{x}{d'}\)。

（其中 \(\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{x}{d'}\)）

也就是 \(x=\frac{d'}{d}\Delta r\)

发现波程差和 \(x\) 是呈正比的，非常简洁。系数 \(\frac{d'}{d}\) 非常大，起到了一个“放大”的作用，使得波长大到肉眼可见的程度。

当 \(\Delta r=\pm k\lambda \Rightarrow x=\pm k\frac{d'}{d}\lambda\) 时，明纹；

当 \(\Delta r=\pm \frac{2k+1}{2}\lambda \Rightarrow x=\pm \frac{2k+1}{2}\frac{d'}{d}\lambda\) 时，暗纹；

（\(k=0,1,2,\dots\)）

图像上，中央是中央明纹，向上是正一级明纹，向下是负一级明纹。

条纹间距 \(\Delta x=\frac{d'}{d}\lambda\)。

当白光照射时，会出现彩色条纹

光栅衍射

光栅可以看作是多个双缝的叠加

\(d\sin\theta=k\lambda(k=0,\pm1,\pm2,\dots)\)

薄膜干涉

薄膜有厚度 \(d\)。外界光在薄膜的两个面上都可能发生反射。

设光在外界的折射率为 \(n_1\)，在薄膜内的折射率为 \(n_2\)，入射角（光线与法线的夹角）为 \(i\)

则有

反射光的光程差 \(\delta_r=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac\lambda2\)

其中，半波损失 \(\frac\lambda2\) 只存在于反射面，且当光从光疏介质到光密介质时发生。

薄膜（比如玻璃）的密度（折射率）比空气肯定是要大的，即对于空气而言，玻璃算光密介质、空气是光疏介质。因此，光从空气射入玻璃时发生的反射会有 \(\frac\lambda2\) 差异；而如果是玻璃内的光线在[玻璃-空气]界面上发生了反射，则不会有这个 \(\frac\lambda2\)。

与双缝干涉相同，\(\delta_r=k\lambda(k=1,2,\dots)\) 时发生加强，\(\delta_r=\frac{2k+1}{2}\lambda(k=0,1,2,\dots)\) 时发生减弱。

需要注意，加强型的 \(k\) 从 \(1\) 开始取（少了一个 \(0\)），而减弱型的 \(k\) 从 \(0\) 开始取（和双缝干涉一样）。

透射光的光程差 \(\delta_t=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}\)

透射光没有半波损失。半波损失只存在于反射的情况。

透射光干涉和反射光干涉具有互补性，符合能量守恒定律。

薄膜干涉的特殊情况

垂直入射

（\(n_1,n_2,n_1\)）从 \(n_1\) 射入 \(n_2\)，\(n_2>n_1\)

\(n_1\) 射入 \(n_2\) 时的反射会发生半波损失。

由于是垂直入射，所以 \(\sin i=0\)

所以 \(\delta_r=2dn_2+\frac\lambda2\)

（\(n_1,n_2,n_3\)）从 \(n_1\) 射入 \(n_2\)，\(n_3>n_2>n_1\)

\(n_1\) 射入 \(n_2\) 时的反射回发生半波损失；\(n_2\) 射入 \(n_3\)时的反射也有半波损失。相当于没有 \(\frac\lambda2\)。

由于是垂直入射，所以 \(\sin i=0\)

所以 \(\delta_r=2dn_2\)

薄膜干涉的用途

1. 测定波长 \(\lambda\)
2. 测定薄膜厚度 \(d\)
3. 提高薄膜的反射率、降低透射率；或者提高透射率、降低反射率

镀膜 \(n_2\) 时，可以镀增反膜和增透膜。其中，增透膜需要 \(n_1<n_2<n_3\)；增反膜需要 \(n_1<n_2>n_3\)。

劈尖干涉

复杂一点的薄膜干涉。公式和薄膜干涉相同：

\(S=2nd+\frac\lambda2=k\lambda(k=1,2,\dots)\) 时为明纹

\(S=2nd+\frac\lambda2=\frac{2k+1}{2}\lambda(k=0,1,2,\dots)\) 时为暗纹

厚度（高度）差 \(\Delta d=\frac{\lambda}{2n}\)

若明（暗）纹之间的间距是 \(L\)（在斜面上观察），则 \(\tan \theta=\Delta d/L\)。

判断工件情况

向棱边弯曲，记为左弯，说明工件表面凹陷。

牛顿环

明纹半径 \(r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}}\)

暗纹半径 \(r=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}\)

其中 \(R\) 是平凸透镜的曲率半径。

好像就是令 \(r=\sqrt{2d}\) ？

干涉仪

\(\Delta d=\Delta N\cdot \frac{\lambda}2\)

即，反射镜移动的距离等于移动的条数 \(\Delta N\) 乘以半波长。

单缝衍射

(夫琅禾费衍射)

一束光经过一条宽度为 \(b\) 的缝隙，会发生衍射。

设其中某条光线的衍射角为 \(\theta\)，则光程差为 \(b\sin\theta\)（和双缝干涉一样）。

发生单缝衍射后，使用凸透镜汇聚到白屏上，也会有明暗相间的条纹，但是不再是像双缝干涉那样的等间距了。单缝衍射的条纹中间特别宽。

明暗条纹的条件

\(b\sin\theta=\pm k\lambda\) 时，暗纹中心

\(b\sin\theta=\pm \frac{2k+1}{2}\lambda\) 时，明纹中心

\(k=1,2,\dots\)

可以发现上面的结论和双缝干涉的结论是相反的！

\(-\lambda<b\sin\theta<\lambda\) 时，中央明纹

条纹宽度

中央明纹宽度

角宽度 \(\Delta\theta_0=2\frac{\lambda}{b}\)

明条纹宽度 \(\Delta x=\frac{\lambda}{b}f\)

单缝衍射条纹特点

中央是明纹，两边对称分布明暗相间、等宽、等间距的直条纹

中央明纹的是其他明纹宽度的 \(2\) 倍

明纹亮度随衍射级数 \(k\) 大而减弱

半波带数量

半波带数目的计算公式

在衍射角 \(\theta\) 方向上，半波带数目 \(N\) 的计算公式为：

\(N = \frac{d\sin\theta}{\lambda/2}\)

物理意义

半波带数目 \(N\) 表示在给定衍射角方向上，从单缝的一端到另一端，相邻点源之间的光程差为 \(\lambda/2\) 的区域的数量。

这个数目直接影响衍射图样的强度分布，是理解单缝衍射现象的重要参数。

光栅衍射

测量单色光波长时，使用光栅衍射精度最高。

和双缝干涉一样，\(d\sin \theta=k\lambda\) 时是明纹。

特殊之处：当 \(\frac{d}{a}=\frac{k}{k'}\) 时，该 \(k\) 级条纹会

气体动理论

物态方程

\(1Pa=1N\cdot m^{-2}\)

标准大气压：\(45\degree\) 纬度海平面处，\(0\degree C\) 时的大气压，\(1atm=1.013\times10^5Pa\)

温度 \(T=273.15+t\)

华氏度 \(t_F=(\frac95\cdot t+32)\degree F\)

理想气体物态方程 \(pV=\nu RT=\frac{气体的质量m'}{相对分子质量M}RT\)，其中的\(\nu\) 是分子个数（单位mol），或者叫摩尔数，对应的还有 \(N=\nu N_A\) 是分子个数（单位个）

摩尔气体常数 \(R=8.31J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\)

\(p=nkT\)（这里的 \(n\) 是分子数的密度 \(n=\frac{N}{V}\)），其中玻尔兹曼常数 \(k=R/N_A=1.38\times10^{-23}J\cdot K^{-1}\)

速率

最概然速率 \(v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}\)

平均速率 \(\overline v=\int_0^\infin vf(v)\mathrm dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\)

方均根速率 \(\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\)

理想气体压强公式 \(p=\frac23n(\frac12m\overline{v^2})=\frac23n\overline{\varepsilon_k}\)

理想气体温度公式 \(\overline{\varepsilon_k}=\frac12m\overline{v^2}=\frac32kT\)

内能

刚性分子的自由度

分子	t平动	r转动	i总
单原子分子	3	0	3
双原子分子	3	2	5
多原子分子	3	3	6

【围观】分子的平均动能 \(\overline{\varepsilon_k}=\frac{i}2kT\)

\(1mol\) 分子的平均动能 \(E_{mol}=N_A \frac{i}2 kT=\frac{i}2RT\)

【宏观】内能即一堆分子的平均动能 \(E=\frac{m}{M}\frac{i}2RT\)

热力学

\(Q=E_2-E_1+W=\Delta E+W\)

\(吸收的热量=内能的变化量+对外界做功\)

对外做功：\(W=\int_{V_1}^{V_2}p\mathrm dV\)

可以看 p-V 图中曲线与V轴围成的面积。

气体的内能变化量：\(\Delta E=\frac{i}2\frac mM R(T_2-T_1)=\frac{i}2(p_2V_2-p_1V_1)\)

气体的变化过程

记下面几个特殊的

等体积变化，\(W=0\)

等压变化，压强是常数，面积是矩阵，\(W=VR\Delta T\)

等温变化，\(pV\) 是常数，计算反比例函数面积，\(W=VRT\ln \frac{V_2}{V_1}\)

绝热变化，\(Q=0\)，\(pV^{\gamma}=C\Rightarrow T_2/T_1=\frac{p_2V_2}{p_1v_1}=(\frac{V_1}{V_2})^{\gamma-1}\)，\(W=-vC_v\Delta T=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}\)

循环

正循环，热机，\(W>0\)，顺时针

热机产生净功 \(A=Q_1-Q_2\)，越多越好

热机效率 \(\eta=\frac{A}Q=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1吸}=1-\frac{Q_2}{Q_1}\)

逆循环，致冷机，\(W<0\)，逆时针

冷机产生净功 \(A=Q_1-Q_2\)，越少越好

制冷效率 \(e=\frac{Q_2吸}{A}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}\)