《大学物理（下）》笔记

振动

基础公式

$$\begin{align} x&=A\cdot \cos(\omega t+\phi)\\ v&=-A\omega\cdot\sin(\omega t+\phi)\\ a&=-A\omega^2\cdot\cos(\omega t+\phi)=-\omega^2x \end{align}$$

简谐振动的特征量

圆频率 $\omega$，周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，频率 $v=\frac1T$

对于弹簧振子，有 $T=2\pi\sqrt\frac{m}{k}$；对于单摆，有 $T=2\pi\sqrt\frac{l}{g}$

振幅 $A=\sqrt{x_0^2+(\frac{v_0}{\omega})^2}$

初相位 $\omega=\arctan(-\frac{v_0}{\omega x_0})$

简谐运动的判断

回复力与位移成正比，且指向平衡位置：$F=-kx\Rightarrow ma=-kx\Rightarrow a=-\frac{k}{m}x$。所以，$k=m\omega^2$。

振动方程可化为 $m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-kx$ 或 $\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+\omega^2x=0$

对于单摆，$-gml\theta=ml^2\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dt^2}$

简谐运动的能量

$$\begin{align} E_k&=\frac12mv^2=\frac12mA^2\omega^2\sin^2(\omega t+\phi)\\ E_p&=\frac12kx^2=\frac12m\omega^2A^2\cos^2(\omega t+\phi)\\ E&=E_k+E_p=\frac12m\omega^2A^2 \end{align}$$

简谐运动的合成

只能合成同周期的几个简谐振动。

使用旋转矢量法，画两个同心圆。

波动

基础变量

波速 $u$：振动状态（波）的传播速度，不是质元运动速度。

周期 $T$：一个完整波通过波线上某点所需的时间，频率 $\nu=\frac1T$，角频率 $\omega=2\pi\nu$。这里周期、频率和

波长 $\lambda$：波线上相邻的振动状态相同的两质元之间的距离，

$u=\lambda f=\lambda\frac1T\Rightarrow \lambda=uT$

波函数

$$\begin{align} y&=A \cos \left[\omega\left(t \mp \frac{x}{u}\right)+\varphi_0\right]\\ &\text { 或 } \\ y&=A \cos \left(\omega t \mp \frac{2 \pi}{\lambda} x+\varphi_0\right) \end{align}$$

其中，$x$ 表示的是位置，而 $y$ 才是振幅。

正向传播取负号，负向传播取正号。

可以发现，其相较于振动方程，就给 $t$ 多减去了一项 $\frac{x}{u}$，可以理解为距离原点 $x$ 处会有 $t’=x/u$ 的“领先”。

如何求波函数

先写出任意一个质点 $(x=d)$ 的振动方程（当然最好是取原点处的）：

$y=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

而波每传播 $\lambda$，相位就落后 $2\pi$，所以要进行调整：

$y=A\cos[][\omega t+\varphi_0\mp\frac{2\pi}\lambda(x-d)]$

波的能量

和振动不一样，质元的能量密度时刻刻保持着动能和势能相等，但是总能量随着时间而变化。

在最大位移处，能量密度为0（想象一根绳子，最高峰处拉伸最小）；平衡位置处能量密度最大。

一个周期内平均能量密度为 $\overline W=\frac12\rho\omega^2A^2$

平均能流：单位时间内，通过垂直于波传播方向的面积 $\Delta S$ 的能量，类似于功率？

$\overline P=\frac12\Delta S \omega^2A^2u=\overline W u\Delta S$

平均能流密度/波的强度：单位面积的平均能流，也就是除去 $\Delta S$

$I=\overline W u$

波的叠加

两个波相遇，相遇的地方叠加（合成），但是相遇前后还是保持着原来的性质。

波的干涉

波在叠加时。在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布，叫做波的干涉。

要求：频率相同，振动方向相同，相位差固定。

两列波的波程差为 $r_2-r_1$ ，相位差为 $\varphi_2-\varphi_1-2 \pi \frac{r_2-r_1}{\lambda}$

相位差等于 $\pi$ 的偶数倍时为加强点，奇数倍时为减弱点。

波动光学

基础知识

可见光的范围

$\lambda=400 \sim 760nm,\nu=7.5\times 10^{14}\sim 4.3\times 10^{14}Hz$

光矢量

光是矢量，用 $\vec E$表示

真空中的光速

$\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{\frac{\lambda}{c}}=\frac{c}{\lambda}$

即 $u=c=\lambda \nu$

介质中的光速

光速 $u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\lambda_n\nu$

抓住频率不变，波长和波速会变化。

介质的折射率

折射率 $n=\frac{c}{u}=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$

折射率是真空光速与当前介质中的光速之比。

可见光的空气折射率为 $1.0$，其他非气体透明介质的折射率均大于 $1$，并且随频率变化。

介质中的波长

$\lambda_n=\frac{u}{\nu}=\frac{\lambda}{n}$

介质中的波长可以用波速除以频率来计算，也可以用真空中的波长除以折射率。

相干光

条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定。

两种产生相干光的方法：振幅分割法，波阵面分割法。

双缝干涉

两个缝之间的距离为 $d$，光缝与照射面之间的距离为 $d’$，且默认 $d’>>d$。

由于照射面上的不同位置距离两条缝有微小的距离差，也就是波程差

波程差 $\Delta r=r_2-r_1\approx d\sin \theta=d\frac{x}{d’}$。

（其中 $\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{x}{d’}$）

也就是 $x=\frac{d’}{d}\Delta r$

发现波程差和 $x$ 是呈正比的，非常简洁。系数 $\frac{d’}{d}$ 非常大，起到了一个“放大”的作用，使得波长大到肉眼可见的程度。

当 $\Delta r=\pm k\lambda \Rightarrow x=\pm k\frac{d’}{d}\lambda$ 时，明纹；

当 $\Delta r=\pm \frac{2k+1}{2}\lambda \Rightarrow x=\pm \frac{2k+1}{2}\frac{d’}{d}\lambda$ 时，暗纹；

（$k=0,1,2,\dots$）

图像上，中央是中央明纹，向上是正一级明纹，向下是负一级明纹。

条纹间距 $\Delta x=\frac{d’}{d}\lambda$。

当白光照射时，会出现彩色条纹

光栅衍射

光栅可以看作是多个双缝的叠加

$d\sin\theta=k\lambda(k=0,\pm1,\pm2,\dots)$

薄膜干涉

薄膜有厚度 $d$。外界光在薄膜的两个面上都可能发生反射。

设光在外界的折射率为 $n_1$，在薄膜内的折射率为 $n_2$，入射角（光线与法线的夹角）为 $i$

则有

反射光的光程差 $\delta_r=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac\lambda2$

其中，半波损失 $\frac\lambda2$ 只存在于反射面，且当光从光疏介质到光密介质时发生。

薄膜（比如玻璃）的密度（折射率）比空气肯定是要大的，即对于空气而言，玻璃算光密介质、空气是光疏介质。因此，光从空气射入玻璃时发生的反射会有 $\frac\lambda2$ 差异；而如果是玻璃内的光线在[玻璃-空气]界面上发生了反射，则不会有这个 $\frac\lambda2$。

与双缝干涉相同，$\delta_r=k\lambda(k=1,2,\dots)$ 时发生加强，$\delta_r=\frac{2k+1}{2}\lambda(k=0,1,2,\dots)$ 时发生减弱。

需要注意，加强型的 $k$ 从 $1$ 开始取（少了一个 $0$），而减弱型的 $k$ 从 $0$ 开始取（和双缝干涉一样）。

透射光的光程差 $\delta_t=2d\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}$

透射光没有半波损失。半波损失只存在于反射的情况。

透射光干涉和反射光干涉具有互补性，符合能量守恒定律。

薄膜干涉的特殊情况

垂直入射

（$n_1,n_2,n_1$）从 $n_1$ 射入 $n_2$，$n_2>n_1$

$n_1$ 射入 $n_2$ 时的反射会发生半波损失。

由于是垂直入射，所以 $\sin i=0$

所以 $\delta_r=2dn_2+\frac\lambda2$

（$n_1,n_2,n_3$）从 $n_1$ 射入 $n_2$，$n_3>n_2>n_1$

$n_1$ 射入 $n_2$ 时的反射回发生半波损失；$n_2$ 射入 $n_3$时的反射也有半波损失。相当于没有 $\frac\lambda2$。

由于是垂直入射，所以 $\sin i=0$

所以 $\delta_r=2dn_2$

薄膜干涉的用途

1. 测定波长 $\lambda$
2. 测定薄膜厚度 $d$
3. 提高薄膜的反射率、降低透射率；或者提高透射率、降低反射率

镀膜 $n_2$ 时，可以镀增反膜和增透膜。其中，增透膜需要 $n_1n_3$。

劈尖干涉

复杂一点的薄膜干涉。公式和薄膜干涉相同：

$S=2nd+\frac\lambda2=k\lambda(k=1,2,\dots)$ 时为明纹

$S=2nd+\frac\lambda2=\frac{2k+1}{2}\lambda(k=0,1,2,\dots)$ 时为暗纹

厚度（高度）差 $\Delta d=\frac{\lambda}{2n}$

若明（暗）纹之间的间距是 $L$（在斜面上观察），则 $\tan \theta=\Delta d/L$。

判断工件情况

向棱边弯曲，记为左弯，说明工件表面凹陷。

牛顿环

明纹半径 $r=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}}$

暗纹半径 $r=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}$

其中 $R$ 是平凸透镜的曲率半径。

好像就是令 $r=\sqrt{2d}$ ？

干涉仪

$\Delta d=\Delta N\cdot \frac{\lambda}2$

即，反射镜移动的距离等于移动的条数 $\Delta N$ 乘以半波长。

单缝衍射

(夫琅禾费衍射)

一束光经过一条宽度为 $b$ 的缝隙，会发生衍射。

设其中某条光线的衍射角为 $\theta$，则光程差为 $b\sin\theta$（和双缝干涉一样）。

发生单缝衍射后，使用凸透镜汇聚到白屏上，也会有明暗相间的条纹，但是不再是像双缝干涉那样的等间距了。单缝衍射的条纹中间特别宽。

明暗条纹的条件

$b\sin\theta=\pm k\lambda$ 时，暗纹中心

$b\sin\theta=\pm \frac{2k+1}{2}\lambda$ 时，明纹中心

$k=1,2,\dots$

可以发现上面的结论和双缝干涉的结论是相反的！

$-\lambda<b\sin\theta<\lambda$ 时，中央明纹

条纹宽度

中央明纹宽度

角宽度 $\Delta\theta_0=2\frac{\lambda}{b}$

明条纹宽度 $\Delta x=\frac{\lambda}{b}f$

单缝衍射条纹特点

中央是明纹，两边对称分布明暗相间、等宽、等间距的直条纹

中央明纹的是其他明纹宽度的 $2$ 倍

明纹亮度随衍射级数 $k$ 大而减弱

半波带数量

半波带数目的计算公式

在衍射角 $\theta$ 方向上，半波带数目 $N$ 的计算公式为：

$N = \frac{d\sin\theta}{\lambda/2}$

物理意义

半波带数目 $N$ 表示在给定衍射角方向上，从单缝的一端到另一端，相邻点源之间的光程差为 $\lambda/2$ 的区域的数量。

这个数目直接影响衍射图样的强度分布，是理解单缝衍射现象的重要参数。

光栅衍射

测量单色光波长时，使用光栅衍射精度最高。

和双缝干涉一样，$d\sin \theta=k\lambda$ 时是明纹。

特殊之处：当 $\frac{d}{a}=\frac{k}{k’}$ 时，该 $k$ 级条纹会

气体动理论

物态方程

$1Pa=1N\cdot m^{-2}$

标准大气压：$45\degree$ 纬度海平面处，$0\degree C$ 时的大气压，$1atm=1.013\times10^5Pa$

温度 $T=273.15+t$

华氏度 $t_F=(\frac95\cdot t+32)\degree F$

理想气体物态方程 $pV=\nu RT=\frac{气体的质量m’}{相对分子质量M}RT$，其中的$\nu$ 是分子个数（单位mol），或者叫摩尔数，对应的还有 $N=\nu N_A$ 是分子个数（单位个）

摩尔气体常数 $R=8.31J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$

$p=nkT$（这里的 $n$ 是分子数的密度 $n=\frac{N}{V}$），其中玻尔兹曼常数 $k=R/N_A=1.38\times10^{-23}J\cdot K^{-1}$

速率

最概然速率 $v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$

平均速率 $\overline v=\int_0^\infin vf(v)\mathrm dv=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$

方均根速率 $\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$

理想气体压强公式 $p=\frac23n(\frac12m\overline{v^2})=\frac23n\overline{\varepsilon_k}$

理想气体温度公式 $\overline{\varepsilon_k}=\frac12m\overline{v^2}=\frac32kT$

内能

刚性分子的自由度

分子	t平动	r转动	i总
单原子分子	3	0	3
双原子分子	3	2	5
多原子分子	3	3	6

【围观】分子的平均动能 $\overline{\varepsilon_k}=\frac{i}2kT$

$1mol$ 分子的平均动能 $E_{mol}=N_A \frac{i}2 kT=\frac{i}2RT$

【宏观】内能即一堆分子的平均动能 $E=\frac{m}{M}\frac{i}2RT$

热力学

$Q=E_2-E_1+W=\Delta E+W$

$吸收的热量=内能的变化量+对外界做功$

对外做功：$W=\int_{V_1}^{V_2}p\mathrm dV$

可以看 p-V 图中曲线与V轴围成的面积。

气体的内能变化量：$\Delta E=\frac{i}2\frac mM R(T_2-T_1)=\frac{i}2(p_2V_2-p_1V_1)$

气体的变化过程

记下面几个特殊的

等体积变化，$W=0$

等压变化，压强是常数，面积是矩阵，$W=VR\Delta T$

等温变化，$pV$ 是常数，计算反比例函数面积，$W=VRT\ln \frac{V_2}{V_1}$

绝热变化，$Q=0$，$pV^{\gamma}=C\Rightarrow T_2/T_1=\frac{p_2V_2}{p_1v_1}=(\frac{V_1}{V_2})^{\gamma-1}$，$W=-vC_v\Delta T=\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}$

循环

正循环，热机，$W>0$，顺时针

热机产生净功 $A=Q_1-Q_2$，越多越好

热机效率 $\eta=\frac{A}Q=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1吸}=1-\frac{Q_2}{Q_1}$

逆循环，致冷机，$W<0$，逆时针

冷机产生净功 $A=Q_1-Q_2$，越少越好

制冷效率 $e=\frac{Q_2吸}{A}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}$